N扭维尔
超越数的证明
不学二楼， 我自己写 是柳维尔 构造出了 一个数Z 然后证明这个数是超越数. 首先要了解 柳维尔定理： 假设 z满足 整数系数方程： F(x)=a0 +a1x+ a2x^2+….anx^n=0, (an≠0),但不满足更低次数的方程，这时就称z为n次代数数。 例如：√2 是一个2次代数数。 因为它满足 x^2 -2=0 ，但不满足一次方程。 2^(1/3)是一个3次代数数…. 而任何一个 n>1 次代数数，都不可能是有理数， 因为有理数 必定满足 Qx-P=0 这个一次方程。 而对于每一个无理数z 都能找到一个分母越来越大的有理数列 ： P1/Q1, P2/Q2 …… 使得 Pr/Qr → z . 柳维尔断言 对于n>1次的任意代数数 z， 这样一个逼近，精度必定达不到 1/(Qr)^(n+1), 即： | z – Pr/Qr |＞ 1/(Qr)^(n+1) ——-(1) (1)就是柳维尔定理 下面先来说明如何应用这个定理来 构造超越数。 取 Z =a1 10^-(1!)+a210^-(2!) +..+ am10^-(m!) +a(m+1)10^-(m+1)!.. =0.a1a2000a300000000000000000a4000……. 可以看清楚的图片:
其中ai 是1到9的任意整数，若在Z的展式中只取到am 10^-(m!)这一项，记为：Zm, Zm为一有理数。 那么 |Z – Zm|＜10* 10^-(m+1)! ——(2) 假设 Z是n次代数数， 则在公式 (1)柳维尔定理中 令Zm= Pr/Qr= Pr/10^(m!) 则根据（1）得出： |Z -Zm|> 1/10^[(n+1)m!] —–(3) (3)和(2) 就可以推出：(n+1)m! > (m+1)! -1 对于充分大的m恒立。 然而 这个不等
式 对于大于n 的 m 是不成立的。这就得出矛盾 所以Z 是超越数。
